5. Отрезки АВ и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если АВ = 40, CD = 42, а расстояние от центра окружности до хорды АВ равно 21.

Задание 5. Расстояние до хорды

Дано:

• Хорда \( AB = 40 \).
• Хорда \( CD = 42 \).
• Расстояние от центра до хорды \( AB \), \( d_1 = 21 \).

Найти: расстояние от центра до хорды \( CD \), \( d_2 \).

Решение:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом \( r \), половиной хорды \( AB \) (то есть \( 20 \)) и расстоянием от центра до хорды \( d_1 = 21 \).
2. По теореме Пифагора найдём радиус окружности: \( r^2 = (AB/2)^2 + d_1^2 = 20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841 \).
3. \( r = \sqrt{841} = 29 \).
4. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом \( r \), половиной хорды \( CD \) (то есть \( 42/2 = 21 \)) и искомым расстоянием \( d_2 \).
5. Используем теорему Пифагора: \( r^2 = (CD/2)^2 + d_2^2 \).
6. Подставляем значения: \( 29^2 = 21^2 + d_2^2 \).
7. \( 841 = 441 + d_2^2 \).
8. Находим \( d_2^2 \): \( d_2^2 = 841 - 441 = 400 \).
9. Находим \( d_2 \): \( d_2 = \sqrt{400} = 20 \).

Ответ: 20