6. Отрезок АВ=51 касается окружности радиуса 68 с центром О в точке В. Окружность пересекает отрезок АО в точке D. Найдите AD.

Задание 6. Длина отрезка AD

Дано:

• Отрезок \( AB = 51 \) — касательная к окружности.
• Точка касания \( B \).
• Центр окружности \( O \).
• Радиус окружности \( r = OB = 68 \).
• Точка \( D \) на \( AO \).

Найти: длину отрезка \( AD \).

Решение:

1. Так как \( AB \) — касательная, то радиус \( OB \) перпендикулярен \( AB \) в точке касания. \( \angle ABO = 90^\circ \).
2. Треугольник \( ABO \) — прямоугольный.
3. Найдем длину гипотенузы \( AO \) по теореме Пифагора: \( AO^2 = AB^2 + OB^2 \).
4. Подставим значения: \( AO^2 = 51^2 + 68^2 = 2601 + 4624 = 7225 \).
5. \( AO = \sqrt{7225} = 85 \).
6. Точка \( D \) лежит на отрезке \( AO \). Отрезок \( OD \) является радиусом окружности, так как \( D \) — точка пересечения окружности с \( AO \), и \( O \) — центр. Следовательно, \( OD = r = 68 \).
7. Длина отрезка \( AD = AO - OD \).
8. Подставим значения: \( AD = 85 - 68 = 17 \).

Ответ: 17