5. При каких значениях \(x\) и \(y\) имеет смысл выражение: а) \(\sqrt{\frac{y}{x}}\); б) \(\sqrt{xy^2}\); в) \(\sqrt{-\frac{y}{x}}\); г) \(\sqrt{yx^3}\)?

Квадратный корень из действительного числа определён, когда подкоренное выражение неотрицательно; знаменатель дроби должен быть ненулевым.

1. а) Требуется \(x\ne0\) и \(\frac{y}{x}\ge0\). Эквивалентно: \(x>0, y\ge0\) или \(x<0, y\le0\).
2. б) Нужно \(xy^2\ge0\). Если \(y=0\), подходит любое \(x\); если \(y\ne0\), требуется \(x\ge0\).
3. в) Требуется \(x\ne0\) и \(-\frac{y}{x}\ge0\), то есть \(\frac{y}{x}\le0\). Эквивалентно: \(x>0, y\le0\) или \(x<0, y\ge0\).
4. г) Нужно \(yx^3\ge0\). При \(x=0\) подходит любое \(y\); при \(x>0\) требуется \(y\ge0\), а при \(x<0\) — \(y\le0\).