7. Докажите, что значение выражения \(\sqrt{10m-3}\), где \(m\in\mathbb{N}\), не может быть натуральным числом.

Предположим противное: \(\sqrt{10m-3}=n\), где \(n\in\mathbb{N}\). Тогда \(n^2=10m-3\), следовательно, \(n^2\equiv7\pmod{10}\).

Квадрат целого числа при делении на 10 может иметь остаток только 0, 1, 4, 5, 6 или 9: это проверяется для последних цифр 0–9. Остатка 7 среди них нет. Получили противоречие.

Следовательно, при натуральном \(m\) значение \(\sqrt{10m-3}\) не является натуральным числом.