5. Решить уравнение: 7^(x+1) + 3 * 7^x = 2^x+5 + 3 * 2^x.

Решение:

Исходное уравнение:

\( 7^{x+1} + 3 \cdot 7^x = 2^{x+5} + 3 \cdot 2^x \)

Вынесем общие множители в каждой части уравнения:

\( 7^x \cdot 7^1 + 3 \cdot 7^x = 2^x \cdot 2^5 + 3 \cdot 2^x \)
\( 7^x (7 + 3) = 2^x (32 + 3) \)
\( 7^x \cdot 10 = 2^x \cdot 35 \)

Разделим обе части на \( 2^x \) (так как \( 2^x \) никогда не равно 0) и на 10:

\( \frac{7^x}{2^x} = \frac{35}{10} \)

Упростим:

\( (\frac{7}{2})^x = \frac{7}{2} \)

Следовательно, показатель степени равен 1:

\( x = 1 \)

Ответ: \( x = 1 \).