5. Решите систему неравенств {x^2 - 5x + 6 ≤ 0, 2x - 5 ≤ 0}

Решение:

Решим каждое неравенство по отдельности.

1. Первое неравенство: \( x^2 - 5x + 6 \leq 0 \).
   • Найдём корни квадратного трёхчлена \( x^2 - 5x + 6 = 0 \). Дискриминант \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \). \( \sqrt{D} = 1 \).
   • Корни: \( x_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2 \), \( x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3 \).
   • Парабола \( y = x^2 - 5x + 6 \) ветвями вверх. Неравенство \( \leq 0 \) выполняется между корнями.
   • Решение первого неравенства: \( 2 \leq x \leq 3 \).
2. Второе неравенство: \( 2x - 5 \leq 0 \).
   • Перенесём 5 в правую часть: \( 2x \leq 5 \).
   • Разделим на 2: \( x \leq \frac{5}{2} \) или \( x \leq 2.5 \).
3. Объединим решения: Нам нужно найти значения \( x \), которые удовлетворяют обоим условиям: \( 2 \leq x \leq 3 \) и \( x \leq 2.5 \).
4. Пересечение этих промежутков: \( 2 \leq x \leq 2.5 \).

Ответ: \( [2; 2.5] \).