5. Решите систему уравнений: {-x + y = 7, x² + y² = 25}

Решение:

Решим систему уравнений методом подстановки.

1. Выразим \( y \) из первого уравнения:

\( y = x + 7 \)

2. Подставим это выражение во второе уравнение:

\( x^2 + (x + 7)^2 = 25 \)

3. Раскроем скобки и приведём уравнение к стандартному виду квадратного:

\( x^2 + (x^2 + 14x + 49) = 25 \)
\( 2x^2 + 14x + 49 - 25 = 0 \)
\( 2x^2 + 14x + 24 = 0 \)

4. Разделим уравнение на 2:

\( x^2 + 7x + 12 = 0 \)

5. Решим квадратное уравнение, найдя дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1 \)

6. Найдем корни \( x \):

\( x_1 = \frac{-7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \)
\( x_2 = \frac{-7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \)

7. Найдем соответствующие значения \( y \), подставив \( x \) в уравнение \( y = x + 7 \):

Если \( x_1 = -3 \), то \( y_1 = -3 + 7 = 4 \).
Если \( x_2 = -4 \), то \( y_2 = -4 + 7 = 3 \).

Ответ: (-3; 4), (-4; 3).