5. Решите уравнение \(\sqrt{3x^2-4x-2} = \sqrt{2x^2-2x+1}\).

Решение:

1. Для решения уравнения необходимо, чтобы выражения под корнями были неотрицательны и равны друг другу.
2. Приравняем выражения под корнями: \( 3x^2-4x-2 = 2x^2-2x+1 \).
3. Перенесем все члены в левую часть: \( 3x^2 - 2x^2 - 4x + 2x - 2 - 1 = 0 \).
4. Упростим: \( x^2 - 2x - 3 = 0 \).
5. Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \).
6. Найдем корни: \( x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2+4}{2} = 3 \) и \( x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2-4}{2} = -1 \).
7. Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условиям неотрицательности выражений под корнями.
8. Для \( x = 3 \): \( 3(3)^2 - 4(3) - 2 = 27 - 12 - 2 = 13 \(\ge\) 0 \) и \( 2(3)^2 - 2(3) + 1 = 18 - 6 + 1 = 13 \(\ge\) 0 \). Оба выражения положительны.
9. Для \( x = -1 \): \( 3(-1)^2 - 4(-1) - 2 = 3 + 4 - 2 = 5 \(\ge\) 0 \) и \( 2(-1)^2 - 2(-1) + 1 = 2 + 2 + 1 = 5 \(\ge\) 0 \). Оба выражения положительны.
10. Таким образом, оба корня подходят.

Ответ: \( x = 3, x = -1 \).