6. Найдите все первообразные функции f(x) = x^3 + 3x^2 + 5.

Решение:

Чтобы найти первообразную функции, нужно проинтегрировать ее:

\( F(x) = \int (x^3 + 3x^2 + 5) dx \)

1. Интегрируем каждый член отдельно:
• \( \int x^3 dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4} \)
• \( \int 3x^2 dx = 3 \int x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3 \)
• \( \int 5 dx = 5x \)
2. Складываем результаты и добавляем константу интегрирования \( C \):
3. \( F(x) = \frac{x^4}{4} + x^3 + 5x + C \)

Ответ: \( F(x) = \frac{x^4}{4} + x^3 + 5x + C \).