5. Упростить выражение и найти его значение: a⁻⁹ ⋅ a⁻⁵, при a = 1/2.

Задание 5. Упрощение выражения и нахождение значения

Нужно упростить выражение \( a^{-9} \cdot a^{-5} \) и найти его значение при \( a = \frac{1}{2} \).

Решение:

1. При умножении степеней с одинаковым основанием, показатели складываются:
   \[ a^{-9} \cdot a^{-5} = a^{-9 + (-5)} = a^{-9 - 5} = a^{-14} \]
2. Теперь подставим значение \( a = \frac{1}{2} \) в упрощенное выражение:
   \[ \left( \frac{1}{2} \right)^{-14} \]
3. Возведение дроби в отрицательную степень равно возведению обратной дроби в положительную степень:
   \[ \left( \frac{1}{2} \right)^{-14} = \left( \frac{2}{1} \right)^{14} = 2^{14} \]
4. Вычислим \( 2^{14} \):
   \( 2^{10} = 1024 \)
   \( 2^{14} = 2^{10} \cdot 2^4 = 1024 \cdot 16 \)
5. Произведем умножение:

\( 1024 \cdot 16 = 1024 \cdot (10 + 6) = 10240 + 6144 = 16384 \)

Ответ: 16384.