5. Упростить выражение и найти его значение: a⁻² ⋅ a⁻⁵, при a = 1/2

Решение:

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:

\( a^{-2} \cdot a^{-5} = a^{-2 + (-5)} = a^{-7} \)

Теперь подставим значение \( a = \frac{1}{2} \):

\( \left( \frac{1}{2} \right)^{-7} \)

Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, нужно перевернуть дробь и возвести в положительную степень:

\( \left( \frac{1}{2} \right)^{-7} = \left( \frac{2}{1} \right)^{7} = 2^7 \)

Вычислим \( 2^7 \):

\( 2^7 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 128 \)

Ответ: 128