7. Катер, собственная скорость которого 8 км/ч, прошел по реке расстояние равное 15 км по течению реки, если время, затраченное на весь путь, равно 4 часа.

Задание 7. Задача на движение

Нужно найти скорость течения реки.

Дано:

• Собственная скорость катера: \( V_{\text{катер}} = 8 \) км/ч.
• Расстояние по течению: \( S = 15 \) км.
• Общее время в пути: \( T_{\text{общ}} = 4 \) часа.

Найти: скорость течения реки \( V_{\text{теч}} \).

Решение:

1. Скорость катера по течению равна сумме его собственной скорости и скорости течения: \( V_{\text{по теч}} = V_{\text{катер}} + V_{\text{теч}} = 8 + V_{\text{теч}} \).
2. Время, затраченное на путь по течению: \( t_{\text{по теч}} = \frac{S}{V_{\text{по теч}}} = \frac{15}{8 + V_{\text{теч}}} \).
3. Важно: В условии сказано, что катер прошел 15 км ПО течению, и общее время в пути 4 часа. Но не указано, сколько времени занял обратный путь или другой участок пути. Предполагается, что 15 км — это весь путь, на который ушло 4 часа. Если это так, то задача решается иначе:

Общее расстояние, пройденное катером, равно \( 15 \) км. Общее время, затраченное на весь путь, равно \( 4 \) часа.

Скорость катера по течению: \( V_{\text{по теч}} = 8 + V_{\text{теч}} \).

Скорость катера против течения: \( V_{\text{против теч}} = 8 - V_{\text{теч}} \).

Пусть \( t_1 \) — время движения по течению, а \( t_2 \) — время движения против течения. Тогда \( t_1 + t_2 = 4 \).

Расстояние, пройденное по течению, равно \( S_1 = (8 + V_{\text{теч}}) \cdot t_1 = 15 \).

Если 15 км — это весь путь, то либо катер двигался только по течению, и тогда время на этот путь \( t_1 = \frac{15}{8 + V_{\text{теч}}} = 4 \), что даст \( 15 = 32 + 4V_{\text{теч}} \) — противоречие.

Либо 15 км — это расстояние, пройденное туда и обратно. В этом случае:

\( S_{всего} = 15 \) км (туда и обратно, то есть туда 7.5 км, обратно 7.5 км)

\( t_1 = \frac{7.5}{8 + V_{\text{теч}}} \), \( t_2 = \frac{7.5}{8 - V_{\text{теч}}} \)

\( \frac{7.5}{8 + V_{\text{теч}}} + \frac{7.5}{8 - V_{\text{теч}}} = 4 \)

\( 7.5 \left( \frac{1}{8 + V_{\text{теч}}} + \frac{1}{8 - V_{\text{теч}}} \right) = 4 \)

\( 7.5 \left( \frac{8 - V_{\text{теч}} + 8 + V_{\text{теч}}}{(8 + V_{\text{теч}})(8 - V_{\text{теч}})} \right) = 4 \)

\( 7.5 \left( \frac{16}{64 - V_{\text{теч}}^2} \right) = 4 \)

\( \frac{120}{64 - V_{\text{теч}}^2} = 4 \)

\( 120 = 4(64 - V_{\text{теч}}^2) \)

\( 30 = 64 - V_{\text{теч}}^2 \)

\( V_{\text{теч}}^2 = 64 - 30 = 34 \)

\( V_{\text{теч}} = \sqrt{34} \) км/ч.

Если же 15 км - это расстояние, пройденное ТОЛЬКО по течению, а 4 часа - это общее время (туда и обратно), то:

Время движения по течению: \( t_1 = \frac{15}{8 + V_{\text{теч}}} \).

Предположим, что обратный путь был той же длины 15 км (то есть 15 км против течения). Тогда:

Время движения против течения: \( t_2 = \frac{15}{8 - V_{\text{теч}}} \).

\( t_1 + t_2 = 4 \)

\( \frac{15}{8 + V_{\text{теч}}} + \frac{15}{8 - V_{\text{теч}}} = 4 \)

\( 15 \left( \frac{1}{8 + V_{\text{теч}}} + \frac{1}{8 - V_{\text{теч}}} \right) = 4 \)

\( 15 \left( \frac{8 - V_{\text{теч}} + 8 + V_{\text{теч}}}{(8 + V_{\text{теч}})(8 - V_{\text{теч}})} \right) = 4 \)

\( 15 \left( \frac{16}{64 - V_{\text{теч}}^2} \right) = 4 \)

\( \frac{240}{64 - V_{\text{теч}}^2} = 4 \)

\( 240 = 4(64 - V_{\text{теч}}^2) \)

\( 60 = 64 - V_{\text{теч}}^2 \)

\( V_{\text{теч}}^2 = 64 - 60 = 4 \)

\( V_{\text{теч}} = 2 \) км/ч.

Учитывая формулировку "прошел по реке расстояние равное 15 км по течению реки, если время, затраченное на весь путь, равно 4 часа", наиболее вероятным является второй вариант: 15 км - это расстояние ПО течению, а 4 часа - ОБЩЕЕ время (туда и обратно).

Ответ: 2 км/ч.