5. Упростить выражение и найти его значение: \( \frac{a^{-2} \cdot a^{-5}}{a^{-9}} \), при \( a = \frac{1}{2} \).

Решение:

Сначала упростим выражение, используя свойства степеней \( x^m \cdot x^n = x^{m+n} \) и \( \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} \).

\( \frac{a^{-2} \cdot a^{-5}}{a^{-9}} = \frac{a^{-2+(-5)}}{a^{-9}} = \frac{a^{-7}}{a^{-9}} = a^{-7-(-9)} = a^{-7+9} = a^2 \)

Теперь подставим значение \( a = \frac{1}{2} \) в упрощённое выражение:

\( a^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1^2}{2^2} = \frac{1}{4} \)

Ответ: \( \frac{1}{4} \).