5. Упростить выражение и найти его значение: \(\frac{a^{-6}}{a^{-3}} \cdot a^{-2}, \text{при } a = \frac{2}{3}\)

Решение:

Сначала упростим выражение, используя свойства степеней. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются:

\( \frac{a^{-6}}{a^{-3}} = a^{-6 - (-3)} = a^{-6 + 3} = a^{-3} \)

Теперь умножим полученное выражение на \( a^{-2} \). При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:

\( a^{-3} \cdot a^{-2} = a^{-3 + (-2)} = a^{-5} \)

Итак, упрощенное выражение равно \( a^{-5} \).

Теперь найдем значение выражения при \( a = \frac{2}{3} \):

\( a^{-5} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-5} \)

Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, нужно перевернуть дробь и возвести в положительную степень:

\( \left(\frac{2}{3}\right)^{-5} = \left(\frac{3}{2}\right)^{5} = \frac{3^5}{2^5} \)

Вычислим степени:

\( 3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 \cdot 3 = 81 \cdot 3 = 243 \)

\( 2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 4 \cdot 4 \cdot 2 = 16 \cdot 2 = 32 \)

Таким образом, значение выражения равно \( \frac{243}{32} \).

Ответ: \(\frac{243}{32}\).