Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Дано:
- Расстояние против течения: \( S_{против} = 45 \) км
- Расстояние по течению: \( S_{по \; теч.} = 45 \) км
- Общее время: \( T_{всего} = 14 \) ч
- Скорость течения реки: \( v_{теч.} = 2 \) км/ч
Найти:
- Собственную скорость лодки: \( v_{лод.} = ? \) км/ч
Решение:
- Обозначим собственную скорость лодки как \(v_{лод}\).
- Скорость лодки против течения: \( v_{против} = v_{лод} - v_{теч} = v_{лод} - 2 \) (км/ч).
- Скорость лодки по течению: \( v_{по \; теч.} = v_{лод} + v_{теч} = v_{лод} + 2 \) (км/ч).
- Время движения против течения: \( t_{против} = \frac{S_{против}}{v_{против}} = \frac{45}{v_{лод}-2} \) (ч).
- Время движения по течению: \( t_{по \; теч.} = \frac{S_{по \; теч.}}{v_{по \; теч.}} = \frac{45}{v_{лод}+2} \) (ч).
- Общее время равно сумме времени движения против и по течению: \( t_{против} + t_{по \; теч.} = T_{всего} \)
- \( \frac{45}{v_{лод}-2} + \frac{45}{v_{лод}+2} = 14 \)
- Приведем дроби к общему знаменателю \( (v_{лод}-2)(v_{лод}+2) = v_{лод}^2 - 4 \):
- \( \frac{45(v_{лод}+2) + 45(v_{лод}-2)}{(v_{лод}-2)(v_{лод}+2)} = 14 \)
- \( \frac{45v_{лод} + 90 + 45v_{лод} - 90}{v_{лод}^2-4} = 14 \)
- \( \frac{90v_{лод}}{v_{лод}^2-4} = 14 \)
- \( 90v_{лод} = 14(v_{лод}^2-4) \)
- \( 90v_{лод} = 14v_{лод}^2 - 56 \)
- Перенесем все в одну сторону: \( 14v_{лод}^2 - 90v_{лод} - 56 = 0 \)
- Разделим на 2: \( 7v_{лод}^2 - 45v_{лод} - 28 = 0 \)
- Решим квадратное уравнение относительно \(v_{лод}\) с помощью дискриминанта:
- \( D = b^2 - 4ac = (-45)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-28) = 2025 + 784 = 2809 \)
- \( \sqrt{D} = \sqrt{2809} = 53 \)
- Найдем корни:
- \( v_{лод}_1 = \frac{-(-45) + 53}{2 \cdot 7} = \frac{45 + 53}{14} = \frac{98}{14} = 7 \)
- \( v_{лод}_2 = \frac{-(-45) - 53}{2 \cdot 7} = \frac{45 - 53}{14} = \frac{-8}{14} = -\frac{4}{7} \)
- Так как скорость не может быть отрицательной, второй корень нам не подходит.
- Проверим полученный ответ: \( v_{лод} = 7 \) км/ч.
- Скорость против течения: \( 7 - 2 = 5 \) км/ч. Время: \( 45 / 5 = 9 \) ч.
- Скорость по течению: \( 7 + 2 = 9 \) км/ч. Время: \( 45 / 9 = 5 \) ч.
- Общее время: \( 9 + 5 = 14 \) ч. Что соответствует условию задачи.
Ответ: Собственная скорость лодки составляет 7 км/ч.
