6. Решить уравнение: \(\frac{2-3x}{4-x} = \frac{6-5x}{8+2x} + \frac{1}{5(x-4)}\)

Решение:

Приведем все дроби к общему знаменателю. Заметим, что \(8+2x = 2(4+x)\) и \(5(x-4) = -5(4-x)\). Общий знаменатель будет \(10(4-x)(4+x)\).

\(\frac{2-3x}{4-x} = \frac{6-5x}{2(4+x)} + \frac{1}{-5(4-x)}\)

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель \(10(4-x)(4+x)\), предварительно убедившись, что \(x \neq 4\) и \(x \neq -4\).

\( 10(4+x)(2-3x) = 5(4-x)(6-5x) + 2(4-x)(4+x) \cdot \frac{1}{-5(4-x)} \cdot 10(4-x)(4+x) \)

\( 10(8 - 12x + 4x - 3x^2) = 5(24 - 20x - 6x + 5x^2) - 2(4+x) \)

\( 10(-3x^2 - 8x + 8) = 5(5x^2 - 26x + 24) - 8 - 2x \)

\( -30x^2 - 80x + 80 = 25x^2 - 130x + 120 - 8 - 2x \)

\( -30x^2 - 80x + 80 = 25x^2 - 132x + 112 \)

Перенесем все члены в одну сторону:

\( 0 = 25x^2 + 30x^2 - 132x + 80x + 112 - 80 \)

\( 0 = 55x^2 - 52x + 32 \)

Найдем дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = (-52)^2 - 4 \cdot 55 \cdot 32 = 2704 - 7040 = -4336 \)

Так как \( D < 0 \), квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: Действительных корней нет.