5. Упростить выражение и найти его значение: $$\frac{a^{-6} \cdot a^{-2}}{a^{-3}}$$, при $$a = \frac{2}{3}$$

Задание 5. Упрощение выражения и вычисление значения

Нужно упростить выражение \( \frac{a^{-6} \cdot a^{-2}}{a^{-3}} \) и найти его значение при \( a = \frac{2}{3} \).

Решение:

1. Сначала упростим выражение, используя свойства степеней \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) и \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):



\[ \frac{a^{-6} \cdot a^{-2}}{a^{-3}} = \frac{a^{-6 + (-2)}}{a^{-3}} = \frac{a^{-8}}{a^{-3}} = a^{-8 - (-3)} = a^{-8 + 3} = a^{-5} \]

2. Теперь подставим значение \( a = \frac{2}{3} \) в упрощённое выражение \( a^{-5} \):



\[ a^{-5} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-5} \]

3. Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, нужно перевернуть дробь и возвести в положительную степень:



\[ \left(\frac{2}{3}\right)^{-5} = \left(\frac{3}{2}\right)^{5} = \frac{3^5}{2^5} = \frac{243}{32} \]

Ответ: \( \frac{243}{32} \)