5. В треугольнике ABC сторона AC = 13, BM — медиана, BH — высота, BC = BM. Найдите длину отрезка AH.

Пусть H — основание высоты, а M — середина AC. Обозначим AH = x. Тогда MH = |13/2 − x|, поскольку AM = MC = 13/2.

Из прямоугольных треугольников ABH и MBH по теореме Пифагора:

AB² = AH² + BH², а BM² = MH² + BH².

Условие BC = BM и теорема Пифагора в треугольнике BHC дают BM² = BC² = BH² + HC². Поэтому MH² = HC², откуда MH = HC и H — середина MC.

Следовательно, AH = AM + MH = 13/2 + 13/4 = 39/4 = 9,75.

Ответ: 9,75.