6. В треугольнике ABC сторона AC = 12, BM — медиана, BH — высота, BC = BM. Найдите длину отрезка AH.

Пусть H — основание высоты. Поскольку M — середина AC, AM = MC = 6.

По теореме Пифагора в прямоугольных треугольниках BMH и BCH, а также из BM = BC:

BM² = BH² + MH², BC² = BH² + HC², следовательно, MH² = HC².

Значит, MH = HC, то есть H — середина MC. Поэтому AH = AM + MH = 6 + 3 = 9.

Ответ: 9.