5. В треугольнике BCA отрезок CD — биссектриса, CA = √2, ∠C = 90°, ∠A = 15°. BC = y, AD = x. Найти x и y.

∠B = 180° − 90° − 15° = 75°.

По теореме синусов в треугольнике BCA: \(\dfrac{BC}{\sin 15^\circ}=\dfrac{CA}{\sin 75^\circ}\). Поэтому \(y=\sqrt{2}\,\dfrac{\sin 15^\circ}{\sin 75^\circ}=\sqrt{2}(2-\sqrt{3})\).

Также \(AB=\dfrac{CA}{\sin 75^\circ}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sin 75^\circ}\). По теореме о биссектрисе \(\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{CA}{CB}\), значит \(x=AD=AB\cdot\dfrac{CA}{CA+CB}\).

Подставляя значения, получаем \(x=\dfrac{2\sqrt{2}}{\sin 75^\circ(3-\sqrt{3})}=\dfrac{4\sqrt{2}}{3-\sqrt{3}}\).

Ответ: \(x=\dfrac{4\sqrt{2}}{3-\sqrt{3}}\), \(y=\sqrt{2}(2-\sqrt{3})\).