6. В треугольнике RMS точка T лежит на MS, RM ⟂ MS, RM = 6, ∠TRS = 45°, ∠S = 30°. Найти x = TS и y = RS.

В прямоугольном треугольнике RMS угол M равен 90°, а угол S — 30°. Сторона RM = 6 лежит напротив угла 30°, поэтому гипотенуза \(y=RS=2\cdot6=12\).

\(MS=RS\cos 30^\circ=12\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\).

Угол MRS равен 60°, поэтому ∠MRT = 60° − 45° = 15°. В прямоугольном треугольнике RMT: \(MT=RM\tan 15^\circ=6(2-\sqrt{3})\).

Тогда \(x=TS=MS-MT=6\sqrt{3}-6(2-\sqrt{3})=12\sqrt{3}-12\).

Ответ: \(x=12(\sqrt{3}-1)\), \(y=12\).