5. Вместо знака * запишите такой одночлен, чтобы многочлен, тождественно равный выражению 3x (x² + * - 2x) - 2 · (3x³ - 2x + 3), был многочленом 4-й степени, сумма коэффициентов которого равна 4.

Пусть одночлен, который нужно вставить вместо *, равен \( kx^n \), где \( k \) — коэффициент, а \( n \) — степень.

Раскроем первое произведение: \( 3x(x^2 + kx^n - 2x) = 3x^3 + 3kx^{n+1} - 6x^2 \).

Раскроем второе произведение: \( -2(3x^3 - 2x + 3) = -6x^3 + 4x - 6 \).

Объединим всё вместе: \( (3x^3 + 3kx^{n+1} - 6x^2) + (-6x^3 + 4x - 6) \).

Сгруппируем одночлены по степеням \( x \): \( 3kx^{n+1} - 3x^3 - 6x^2 + 4x - 6 \).

Чтобы многочлен был 4-й степени, наивысшая степень \( x \) должна быть 4. В нашем выражении уже есть \( 3kx^{n+1} \). Следовательно, \( n+1 = 4 \), что означает \( n=3 \).

Значит, одночлен имеет вид \( kx^3 \). Заменим \( n \) на \( 3 \) в выражении: \( 3kx^{3+1} - 3x^3 - 6x^2 + 4x - 6 = 3kx^4 - 3x^3 - 6x^2 + 4x - 6 \).

Сумма коэффициентов этого многочлена должна быть равна 4. Коэффициенты: \( 3k \) (для \( x^4 \)), \( -3 \) (для \( x^3 \)), \( -6 \) (для \( x^2 \)), \( 4 \) (для \( x \)), \( -6 \) (свободный член).

Сумма коэффициентов: \( 3k - 3 - 6 + 4 - 6 = 4 \).

Упростим уравнение: \( 3k - 11 = 4 \).

Решим относительно \( k \): \( 3k = 15 \), \( k = 5 \).

Итак, одночлен, который нужно вставить вместо *, это \( 5x^3 \).

Ответ: \( 5x^3 \).