8. Сравните числа 2004/2005 - 1 и 1 - 2005/2004. Укажите какое-нибудь число (если оно существует), заключенное между этими числами.

Решение:

Сначала вычислим значения данных выражений:

• Первое число: \( \frac{2004}{2005} - 1 \). Приведем к общему знаменателю 2005:
• \( \frac{2004}{2005} - \frac{2005}{2005} = \frac{2004 - 2005}{2005} = \frac{-1}{2005} \)
• Второе число: \( 1 - \frac{2005}{2004} \). Приведем к общему знаменателю 2004:
• \( \frac{2004}{2004} - \frac{2005}{2004} = \frac{2004 - 2005}{2004} = \frac{-1}{2004} \)

Теперь сравним два полученных числа: \( \frac{-1}{2005} \) и \( \frac{-1}{2004} \).

Оба числа отрицательные. Для отрицательных чисел, чем больше знаменатель, тем меньше само число. Так как \( 2005 > 2004 \), то \( \frac{1}{2005} < \frac{1}{2004} \).

Умножая на -1, знак неравенства меняется на противоположный: \( \frac{-1}{2005} > \frac{-1}{2004} \).

Значит, \( \frac{2004}{2005} - 1 > 1 - \frac{2005}{2004} \).

Чтобы найти число, заключенное между \( \frac{-1}{2005} \) и \( \frac{-1}{2004} \), мы можем взять любое число, которое находится между ними. Например, можно взять среднее арифметическое этих двух чисел.

• Среднее арифметическое: \( \frac{\frac{-1}{2005} + \frac{-1}{2004}}{2} = \frac{\frac{-1}{2005} - \frac{1}{2004}}{2} \)
• Приведем к общему знаменателю \( 2005 \cdot 2004 \):
• \( \frac{\frac{-2004 - 2005}{2005 \cdot 2004}}{2} = \frac{\frac{-4009}{2005 \cdot 2004}}{2} = \frac{-4009}{2 \cdot 2005 \cdot 2004} = \frac{-4009}{8040160} \)

Другим, более простым примером может быть число, которое немного больше, чем \( \frac{-1}{2004} \) (например, \( \frac{-1}{2004} + 0.000001 \)) или немного меньше, чем \( \frac{-1}{2005} \) (например, \( \frac{-1}{2005} - 0.000001 \)).

Самый простой способ — взять число, которое близко к одному из концов и находится между ними. Например, можно взять число \( -0.000495 \), которое меньше \( \frac{-1}{2004} \approx -0.000496 \) и больше \( \frac{-1}{2005} \approx -0.000498 \).

Мы можем выбрать любое число между \( \frac{-1}{2005} \) и \( \frac{-1}{2004} \). Например, \( -0.000497 \).

Ответ: \( \frac{2004}{2005} - 1 > 1 - \frac{2005}{2004} \). Число, заключенное между ними: \( -0.000497 \) (или \( \frac{-4009}{8040160} \)).