5. Вычислить предел функции, не пользуясь правилом Лопиталя: $\displaystyle \lim_{x\to0}\left(2-3^{(\arctan\sqrt{x})^2}\right)^{2/\sin x}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Вычислить предел функции, не пользуясь правилом Лопиталя: \(\displaystyle…$ Фото задания

5. Вычислить предел функции, не пользуясь правилом Лопиталя: $\displaystyle \lim_{x\to0}\left(2-3^{(\arctan\sqrt{x})^2}\right)^{2/\sin x}$.

Accepted Answer

Из-за $\sqrt{x}$ рассматривается предел при $x\to0^+$. Обозначим $u=(\arctan\sqrt{x})^2$. Так как $\arctan\sqrt{x}\sim\sqrt{x}$, то $u\sim x$. Далее, $3^u=1+u\ln3+o(u)$, поэтому $2-3^u=1-u\ln3+o(u)$.

Логарифм предела вычислим по стандартной форме $(1+v)^w$:

$\displaystyle \ln L=\lim_{x\to0^+}\frac{2}{\sin x}\ln\left(2-3^{(\arctan\sqrt{x})^2}\right)=\lim_{x\to0^+}\frac{2}{x}\bigl(-x\ln3+o(x)\bigr)=-2\ln3$.

Следовательно, $L=e^{-2\ln3}=\frac19$.

Ответ: $\frac19$.

5. Вычислить предел функции, не пользуясь правилом Лопиталя: \(\displaystyle \lim_{x\to0}\left(2-3^{(\arctan\sqrt{x})^2}\right)^{2/\sin x}\).

Ответ: