7. Определить характер функций (бесконечно малые или бесконечно большие) в точке \(x_0\), выделить главные части: а) \(f_1(x)=\arcsin 3x-\sin4x,\quad x_0=0\); б) \(f_2(x)=\frac{2x-1}{\ln(4+x)},\quad x_0=-3\); в) \(f_3(x)=\frac{2x^2-3x^3+4\sqrt{x+5}}{x^2+4x},\quad x_0=\infty\).

а) Используем разложения при \(x\to0\): \(\arcsin(3x)=3x+\frac{(3x)^3}{6}+o(x^3)\), \(\sin4x=4x-\frac{(4x)^3}{6}+o(x^3)\). Поэтому \(f_1(x)=-x+\frac{91}{6}x^3+o(x^3)\sim-x\). Это бесконечно малая; главная часть — \(-x\).

б) Положим \(h=x+3\), тогда \(h\to0\), \(2x-1=-7+2h\), а \(\ln(4+x)=\ln(1+h)\sim h\). Значит, \(f_2(x)\sim-\frac7{x+3}\), поэтому функция бесконечно большая по модулю. При подходе слева она стремится к \(+\infty\), справа — к \(-\infty\); главная часть — \(-\frac7{x+3}\).

в) При \(x\to+\infty\) старшие по росту слагаемые числителя и знаменателя дают \(\displaystyle f_3(x)\sim\frac{-3x^3}{x^2}=-3x\). Это бесконечно большая функция; главная часть — \(-3x\).