5. Вычислите предел: lim (x^2 - 4) / (x^2 - x - 2) при x→∞

Решение:

Для вычисления предела функции при \( x \) стремящемся к бесконечности, разделим числитель и знаменатель на старшую степень \( x \), то есть на \( x^2 \).

\[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 4}{x^2 - x - 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^2}{x^2} - \frac{4}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} - \frac{x}{x^2} - \frac{2}{x^2}} \]

Упростим выражение:

\[ = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{4}{x^2}}{1 - \frac{1}{x} - \frac{2}{x^2}} \]

Теперь учтем, что при \( x \) стремящемся к бесконечности, выражения вида \( \frac{c}{x^n} \) (где \( c \) — константа, \( n > 0 \)) стремятся к нулю.

\[ \frac{4}{x^2} \to 0 \]

\[ \frac{1}{x} \to 0 \]

\[ \frac{2}{x^2} \to 0 \]

Подставим эти значения в предел:

\[ = \frac{1 - 0}{1 - 0 - 0} = \frac{1}{1} = 1 \]

Ответ: 1