8. Вычислите определенный интеграл: ∫(9x^2 - 6x + 3) dx от 1 до 2

Решение:

Для вычисления определенного интеграла, сначала найдем первообразную для подынтегральной функции \( f(x) = 9x^2 - 6x + 3 \).

Первообразная \( F(x) \) находится по правилу: \( \int (ax^n + bx^m + c) dx = a \frac{x^{n+1}}{n+1} + b \frac{x^{m+1}}{m+1} + cx + C \).

Применяем это правило к нашей функции:

\[ F(x) = \int (9x^2 - 6x + 3) dx = 9 \frac{x^{2+1}}{2+1} - 6 \frac{x^{1+1}}{1+1} + 3x + C \]

\[ F(x) = 9 \frac{x^3}{3} - 6 \frac{x^2}{2} + 3x + C \]

\[ F(x) = 3x^3 - 3x^2 + 3x + C \]

Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница: \( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \).

В нашем случае \( a=1 \) и \( b=2 \).

Вычислим \( F(2) \):

\[ F(2) = 3(2)^3 - 3(2)^2 + 3(2) = 3(8) - 3(4) + 6 = 24 - 12 + 6 = 18 \]

Вычислим \( F(1) \):

\[ F(1) = 3(1)^3 - 3(1)^2 + 3(1) = 3(1) - 3(1) + 3 = 3 - 3 + 3 = 3 \]

Теперь найдем разность:

\[ \int_1^2 (9x^2 - 6x + 3) dx = F(2) - F(1) = 18 - 3 = 15 \]

Ответ: 15