7. Найдите производную: (x^4 * cosx)'

Решение:

Для нахождения производной произведения двух функций \( u(x) \) и \( v(x) \), используется правило производной произведения: \( (u · v)' = u' · v + u · v' \).

В нашем случае:

\( u(x) = x^4 \)

\( v(x) = \cos x \)

Найдем производные этих функций:

\[ u'(x) = (x^4)' = 4x^{4-1} = 4x^3 \]

\[ v'(x) = (\cos x)' = -\sin x \]

Теперь применим правило производной произведения:

\[ (x^4 \cdot \cos x)' = (x^4)' \cdot \cos x + x^4 \cdot (\cos x)' \]

\[ = 4x^3 \cdot \cos x + x^4 \cdot (-\sin x) \]

\[ = 4x^3 \cos x - x^4 \sin x \]

Ответ: 4x³cos x - x⁴sin x