№5. Выполнить действия: 1) a^(1/5) · a^(2/3); 2) y^(1/3) : y^(1/5); 3) (x^(2/5))^(5/4); 4) (a³x²)^(5/6); 5) (a⁵/x^(2/3))^0,6.

Применяем свойства степеней. В пунктах 3–5 используем обычное для таких упражнений предположение о положительности переменных.

1. При умножении степеней с одинаковым основанием складываем показатели: \(a^{1/5}\cdot a^{2/3}=a^{1/5+2/3}=a^{3/15+10/15}=a^{13/15}\).
2. При делении степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели: \(y^{1/3}:y^{1/5}=y^{1/3-1/5}=y^{2/15}\).
3. При возведении степени в степень перемножаем показатели: \((x^{2/5})^{5/4}=x^{(2/5)(5/4)}=x^{1/2}\).
4. \((a^3x^2)^{5/6}=a^{3\cdot5/6}x^{2\cdot5/6}=a^{5/2}x^{5/3}\).
5. \(0,6=3/5\), поэтому \(\left(\dfrac{a^5}{x^{2/3}}\right)^{0,6}=\left(\dfrac{a^5}{x^{2/3}}\right)^{3/5}=\dfrac{a^3}{x^{2/5}}\).

Ответ: 1) \(a^{13/15}\); 2) \(y^{2/15}\); 3) \(x^{1/2}\); 4) \(a^{5/2}x^{5/3}\); 5) \(a^3/x^{2/5}\).