№6. Упростить выражение (y + 4y^(1/2) + 4)/(y + 2y^(1/2)) и найти его значение при y = 256.

Положим \(t=\sqrt{y}\). Тогда числитель и знаменатель можно разложить на множители:

\(\dfrac{y+4\sqrt{y}+4}{y+2\sqrt{y}}=\dfrac{(\sqrt{y}+2)^2}{\sqrt{y}(\sqrt{y}+2)}=\dfrac{\sqrt{y}+2}{\sqrt{y}}=1+\dfrac{2}{\sqrt{y}}\), при \(y>0\).

При \(y=256\): \(1+\dfrac{2}{\sqrt{256}}=1+\dfrac{2}{16}=\dfrac{9}{8}\).

Ответ: упрощённое выражение — \(1+\dfrac{2}{\sqrt{y}}\); при \(y=256\) его значение равно \(\dfrac{9}{8}\).