53. Доказать, что: 1) \(\sqrt{4+2\sqrt3}-\sqrt{4-2\sqrt3}=2\); 2) \(\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}=4\).

1. \(4+2\sqrt3=(\sqrt3+1)^2\), а \(4-2\sqrt3=(\sqrt3-1)^2\). Поэтому \(\sqrt{4+2\sqrt3}-\sqrt{4-2\sqrt3}=(\sqrt3+1)-(sqrt3-1)=2\).
2. \(9+\sqrt{80}=9+4\sqrt5=(2+\sqrt5)^3\), а \(9-sqrt{80}=9-4\sqrt5=(2-sqrt5)^3\). Следовательно, сумма равна \((2+\sqrt5)+(2-sqrt5)=4\).

Доказано.