55. Найдите площадь треугольника ABC, если: а) AB = 6,5 см, BC = 8√3 см, ∠B = 120°; б) AC = 16 см, BC = 10√2 см, ∠A + ∠B = 135°.

а) Используем формулу площади по двум сторонам и углу между ними:

\(S=\frac12 AB\cdot BC\cdot\sin B=\frac12\cdot6.5\cdot8\sqrt3\cdot\sin120^\circ\).

Так как \(\sin120^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\), получаем \(S=13\sqrt3\text{ см}^2\).

б) Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), поэтому \(\angle C=180^\circ-(\angle A+\angle B)=45^\circ\). Стороны AC и BC образуют этот угол.

\(S=\frac12 AC\cdot BC\cdot\sin C=\frac12\cdot16\cdot10\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}{2}=80\text{ см}^2\).

Ответ: а) \(13\sqrt3\text{ см}^2\); б) \(80\text{ см}^2\).