61. а) Площадь равнобедренной трапеции равна 36√3 см², угол между диагональю и основанием равен 30°. Найдите длину диагонали трапеции. б) Найдите площадь равнобедренной трапеции с диагональю, равной 12 см, и углом между диагональю и стороной основания, равным 15°.

а) В равнобедренной трапеции горизонтальная проекция диагонали равна полусумме оснований. Обозначим её через \(x\), высоту — через \(h\). Тогда площадь равна \(xh=36\sqrt3\), а угол между диагональю и основанием равен 30°, поэтому \(h=x\tan30^\circ=\frac{x}{\sqrt3}\).

Из \(\frac{x^2}{\sqrt3}=36\sqrt3\) получаем \(x^2=108\), значит \(x=6\sqrt3\), а \(h=6\). Диагональ — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами \(6\sqrt3\) и 6:

\(d=\sqrt{(6\sqrt3)^2+6^2}=\sqrt{108+36}=12\text{ см}\).

б) Диагональ длиной 12 см образует с основанием угол 15°. Её горизонтальная проекция равна \(12\cos15^\circ\), а высота трапеции — \(12\sin15^\circ\). Площадь равнобедренной трапеции равна произведению высоты на полусумму оснований; полусумма оснований здесь равна горизонтальной проекции диагонали.

\(S=(12\cos15^\circ)(12\sin15^\circ)=144\cdot\frac12\sin30^\circ=36\text{ см}^2\).

Ответ: а) 12 см; б) \(36\text{ см}^2\).