57. а) Площадь параллелограмма равна 18√3 см², одна из его сторон на 5 см больше другой, а один из углов равен 60°. Найдите периметр параллелограмма. б) Стороны параллелограмма относятся как 3 : 5, площадь равна 30 см², а тупой угол параллелограмма равен 150°. Найдите периметр параллелограмма.

а) Пусть меньшая сторона равна \(x\) см, тогда большая равна \(x+5\) см. Площадь параллелограмма:

\(x(x+5)\sin60^\circ=18\sqrt3\), откуда \(x(x+5)\cdot\frac{\sqrt3}{2}=18\sqrt3\), то есть \(x(x+5)=36\).

\(x^2+5x-36=0\), поэтому \((x-4)(x+9)=0\). Положительная длина: \(x=4\), большая сторона — 9 см. Периметр: \(P=2(4+9)=26\text{ см}\).

б) Пусть стороны равны \(3k\) и \(5k\). Тогда \(3k\cdot5k\cdot\sin150^\circ=30\), то есть \(15k^2\cdot\frac12=30\). Следовательно, \(k=2\); стороны равны 6 см и 10 см.

\(P=2(6+10)=32\text{ см}\).

Ответ: а) 26 см; б) 32 см.