57. Имеет ли корни многочлен: а) x² + 1; б) x³ − 27; в) −2y⁶ − 1; г) y⁴ + 3y² + 7?

а) Для любого действительного \(x\) имеем \(x^2+1>0\). Корней нет.

б) \(x^3-27=0\Rightarrow x^3=27\Rightarrow x=3\). Корень есть.

в) \(-2y^6-1<0\) при любом действительном \(y\). Корней нет.

г) Обозначим \(t=y^2\ge0\). Тогда \(t^2+3t+7>0\), так как все слагаемые положительны. Корней нет.

Ответ: а) нет; б) да, \(x=3\); в) нет; г) нет.