572. В задачах 572—574 используются следующие обозначения для прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C и высотой CH: BC = a, CA = b, AB = c, CH = h, AH = b_c, HB = a_c. Найдите: а) h, a и b, если b_c = 25, a_c = 16; б) h, a и b, если b_c = 36, a_c = 64; в) a, c и a_c, если b = 12, b_c = 6; г) b, c и b_c, если a = 8, a_c = 4; д) h, b, a_c и b_c, если a = 6, c = 9.

Используем соотношения для высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника: \(c=a_c+b_c\), \(a^2=ca_c\), \(b^2=cb_c\), \(h^2=a_cb_c\).

1. а) \(c=16+25=41\). Тогда \(h=\sqrt{16\cdot25}=20\), \(a=\sqrt{41\cdot16}=4\sqrt{41}\), \(b=\sqrt{41\cdot25}=5\sqrt{41}\).
2. б) \(c=64+36=100\). Тогда \(h=\sqrt{64\cdot36}=48\), \(a=\sqrt{100\cdot64}=80\), \(b=\sqrt{100\cdot36}=60\).
3. в) Из \(b^2=cb_c\): \(144=6c\), поэтому \(c=24\). Тогда \(a_c=c-b_c=24-6=18\), а \(a=\sqrt{ca_c}=\sqrt{24\cdot18}=12\sqrt{3}\).
4. г) Из \(a^2=ca_c\): \(64=4c\), поэтому \(c=16\). Тогда \(b_c=c-a_c=16-4=12\), а \(b=\sqrt{cb_c}=\sqrt{16\cdot12}=8\sqrt{3}\).
5. д) \(a_c=a^2/c=36/9=4\). Тогда \(b_c=c-a_c=9-4=5\), \(b=\sqrt{cb_c}=\sqrt{9\cdot5}=3\sqrt{5}\), \(h=\sqrt{a_cb_c}=\sqrt{4\cdot5}=2\sqrt{5}\).

Ответ: а) \(h=20,\ a=4\sqrt{41},\ b=5\sqrt{41}\); б) \(h=48,\ a=80,\ b=60\); в) \(a=12\sqrt{3},\ c=24,\ a_c=18\); г) \(b=8\sqrt{3},\ c=16,\ b_c=12\); д) \(h=2\sqrt{5},\ b=3\sqrt{5},\ a_c=4,\ b_c=5\).