591. Докажите, что многочлен х²+ y² +1 при любых значениях х и у принимает положительные значения.

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть \(x^2 \geq 0\) и \(y^2 \geq 0\) для любых x и y. Значит, сумма квадратов \(x^2 + y^2\) также всегда неотрицательна: \(x^2 + y^2 \geq 0\). Если мы прибавим 1 к неотрицательной величине, результат всегда будет больше нуля: \(x^2 + y^2 + 1 > 0\). Значит, многочлен \(x^2 + y^2 + 1\) всегда принимает только положительные значения. Итоговый ответ: Доказано, что многочлен принимает положительные значения для любых x и y.