6. 1) Дано: AB = CD. Доказать: AC = BD. 2) Дано: AC = BD. Доказать: AB = CD.

Часть 1: Доказательство AC = BD, если AB = CD

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Рассмотрим отрезок AD. Он состоит из отрезков AB, BC и CD.
2. Шаг 2: Запишем равенство для отрезка AD, учитывая, что BC является общей частью: \( AD = AB + BC + CD \).
3. Шаг 3: Так как по условию AB = CD, мы можем заменить CD на AB в выражении для AD: \( AD = AB + BC + AB \).
4. Шаг 4: Также отрезок AD можно представить как сумму отрезков AC и CD: \( AD = AC + CD \).
5. Шаг 5: Или как сумму отрезков AB и BD: \( AD = AB + BD \).
6. Шаг 6: Приравнивая выражения для AD, мы имеем: \( AB + BC + CD = AC + CD \). Вычитая CD из обеих частей, получаем \( AB + BC = AC \). Это очевидно, так как BC входит в AC.
7. Шаг 7: Теперь приравняем \( AB + BC + CD \) к \( AB + BD \). \( AB + BC + CD = AB + BD \). Вычитаем AB из обеих частей: \( BC + CD = BD \). Это тоже очевидно, так как BC входит в BD.
8. Шаг 8: Чтобы доказать AC = BD, рассмотрим следующее: \( AC = AB + BC \) и \( BD = BC + CD \).
9. Шаг 9: Поскольку по условию AB = CD, мы можем подставить AB вместо CD в выражение для BD: \( BD = BC + AB \).
10. Шаг 10: Таким образом, \( AC = AB + BC \) и \( BD = AB + BC \). Следовательно, \( AC = BD \).

Часть 2: Доказательство AB = CD, если AC = BD

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Рассмотрим отрезок AD. Он состоит из отрезков AB, BC и CD.
2. Шаг 2: Также отрезок AD можно представить как сумму отрезков AC и CD: \( AD = AC + CD \).
3. Шаг 3: И как сумму отрезков AB и BD: \( AD = AB + BD \).
4. Шаг 4: Из условия AC = BD.
5. Шаг 5: Мы можем выразить BC из равенства AC = AB + BC: \( BC = AC - AB \).
6. Шаг 6: Мы можем выразить BC из равенства BD = BC + CD: \( BC = BD - CD \).
7. Шаг 7: Приравняем выражения для BC: \( AC - AB = BD - CD \).
8. Шаг 8: Поскольку по условию AC = BD, мы можем подставить AC вместо BD: \( AC - AB = AC - CD \).
9. Шаг 9: Вычитая AC из обеих частей, получаем \( -AB = -CD \).
10. Шаг 10: Умножая обе части на -1, получаем \( AB = CD \).