6.7. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 40, tg A = 55/(3√55). Найдите AC.

Упростим тангенс:

\[\operatorname{tg} A=\frac{55}{3\sqrt{55}}=\frac{\sqrt{55}}{3}.\]

Используем связь тангенса и косинуса:

\[1+\operatorname{tg}^2 A=\frac{1}{\cos^2 A}.\]

\[\frac{1}{\cos^2 A}=1+\frac{55}{9}=\frac{64}{9},\qquad \cos A=\frac{3}{8}.\]

Так как \(\cos A=\frac{AC}{AB}\),

\[AC=AB\cdot\cos A=40\cdot\frac{3}{8}=15.\]

Ответ: \(AC=15\).