№ 6. Дано: AB = √2, BC = √3, ∠A = 60°. Найти ∠B и R (радиус описанной окружности).

По теореме синусов \(\frac{BC}{\sin A}=2R\). Поэтому \(2R=\frac{\sqrt3}{\sin60^\circ}=2\), откуда \(R=1\).

Обозначим \(AC=x\). По теореме косинусов для стороны BC: \(3=x^2+(\sqrt2)^2-2x\sqrt2\cos60^\circ\), то есть \(x^2-\sqrt2x-1=0\).

Положительный корень: \(x=\frac{\sqrt2+\sqrt6}{2}\). По теореме синусов \(\sin B=\frac{AC\sin60^\circ}{BC}=\frac{\sqrt2+\sqrt6}{4}=\sin75^\circ\). Следовательно, \(B=75^\circ\) (второй угол с таким синусом невозможен: сумма углов треугольника уже превысила бы \(180^\circ\)).

Ответ: \(\angle B=75^\circ\), \(R=1\).