6. Докажите, что четырёхугольник \(ABCD\) — параллелограмм, если \((\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{XB})+\overrightarrow{PX}=\overrightarrow{DC}\), где \(P\) и \(X\) — произвольные точки плоскости.

Переставим слагаемые и сгруппируем векторы, соответствующие последовательным переходам:

\((\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PX})+\overrightarrow{XB}=\overrightarrow{AX}+\overrightarrow{XB}=\overrightarrow{AB}\).

По условию левая часть равна \(\overrightarrow{DC}\), значит, \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\). Равенство векторов означает, что противоположные стороны \(AB\) и \(DC\) параллельны и равны. Если в четырёхугольнике одна пара противоположных сторон равна и параллельна, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Следовательно, \(ABCD\) — параллелограмм.