6. In triangle ABC, angle C is 83 degrees. Find angle O.

Решение:

В данном рисунке \( \angle C \) является вписанным углом, опирающимся на дугу AB. Точка O является центром окружности, поэтому \( \angle AOB \) — центральный угол, опирающийся на ту же дугу AB.

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Следовательно, центральный угол \( \angle AOB \) в два раза больше вписанного угла \( \angle C \).

\[ \angle AOB = 2 \cdot \angle C \]\[ \angle AOB = 2 \cdot 83^\circ = 166^\circ \]

Ответ: \( 166^\circ \).