8. Given a trapezoid with one angle 45 degrees and bases 2 and 8, find the area S.

Решение:

Для нахождения площади трапеции \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \), где \( a \) и \( b \) — основания, \( h \) — высота.

Основания \( a=8 \) и \( b=2 \). Нам нужно найти высоту \( h \).

Опустим высоту из вершины верхнего основания на нижнее. Получится прямоугольный треугольник с углом \( 45^\circ \).

Так как один из углов острых равен \( 45^\circ \), то другой острый угол также равен \( 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \). Следовательно, этот треугольник равнобедренный, и его катеты равны. Один катет — это высота \( h \), другой — часть нижнего основания. Обозначим эту часть как \( x \). Тогда \( h = x \).

Разность оснований равна \( a - b = 8 - 2 = 6 \). Эта разность делится на две части (если трапеция равнобедренная, но здесь нет данных, что она равнобедренная). Однако, по чертежу видно, что из одного угла верхнего основания проведена высота, а из другого — нет, и одна из боковых сторон является гипотенузой прямоугольного треугольника. Если предположить, что отрезки, на которые разбивается нижнее основание при проведении высот, равны, то \( x = \frac{8-2}{2} = 3 \).

Если \( x = h = 3 \), то площадь равна:

\[ S = \frac{8+2}{2} \cdot 3 = \frac{10}{2} \cdot 3 = 5 \cdot 3 = 15 \]

Ответ: \( S = 15 \).