6. На полке случайным образом в стопку сложены кассеты, из которых 3 с классикой, 5 с рок-музыкой. Какова вероятность, что кассеты разных жанров не смешаны друг с другом?

Решение:

Всего кассет:
\( 3 \text{ (классика)} + 5 \text{ (рок)} = 8 \) кассет.

Общее количество способов расположить 8 кассет в стопке равно числу перестановок из 8 элементов:
\( P_8 = 8! = 40320 \).

Чтобы кассеты разных жанров не смешивались, они должны лежать либо все 3 классические, а затем все 5 рок-кассет, либо наоборот — все 5 рок-кассет, а затем все 3 классические.

• Случай 1: Сначала все классические, затем все рок-кассеты.
  Есть только 1 способ расположить 3 классические кассеты между собой и 1 способ расположить 5 рок-кассет между собой.
  Таким образом, есть \( 1 \times 1 = 1 \) способ такого расположения.
• Случай 2: Сначала все рок-кассеты, затем все классические.
  Аналогично, есть \( 1 \times 1 = 1 \) способ такого расположения.

Всего благоприятных исходов:
\( 1 + 1 = 2 \).

Вероятность того, что кассеты разных жанров не смешаны друг с другом, равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

\( P = \frac{\text{Число благоприятных исходов}}{\text{Общее число исходов}} = \frac{2}{8!} = \frac{2}{40320} = \frac{1}{20160} \)

Ответ: 1/20160