9. На карточках выписаны цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Наугад берут четыре карточки и выкладывают их в ряд. Какова вероятность того, что получится четное число, большее 6 000?

Решение:

Всего имеется 9 карточек с цифрами от 1 до 9.

Общее количество способов выбрать 4 карточки из 9 и выложить их в ряд (то есть, учитывая порядок) равно числу размещений из 9 по 4:

\( A_9^4 = \frac{9!}{(9-4)!} = \frac{9!}{5!} = 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 3024 \).

Нам нужно найти число таких размещений, которые образуют четырехзначное число, являющееся четным и большим 6 000.

Условия:

1. Число должно быть четным. Это значит, что последняя цифра (на месте единиц) должна быть четной. Из имеющихся цифр четными являются: 2, 4, 6, 8. (4 варианта).
2. Число должно быть больше 6 000. Это значит, что первая цифра (на месте тысяч) должна быть 6, 7, 8 или 9. (4 варианта).

Рассмотрим случаи, учитывая, что цифры не повторяются.

Случай 1: Первая цифра (тысячи) — 6 или 8 (четная и больше 6000).

• Если первая цифра — 6 (1 вариант):
• Последняя цифра (единицы) может быть 2, 4, 8 (3 варианта, так как 6 уже использовано).
• Для двух средних позиций (сотни и десятки) останется \( 9 - 2 = 7 \) цифр. Количество способов выбрать и расположить их равно \( P_7^2 = 7 \times 6 = 42 \).
• Количество чисел в этом подслучае: \( 1 \text{ (цифра 6)} \times 3 \text{ (четные для единиц)} \times 42 = 126 \).
• Если первая цифра — 8 (1 вариант):
• Последняя цифра (единицы) может быть 2, 4, 6 (3 варианта, так как 8 уже использовано).
• Аналогично, для двух средних позиций остается 7 цифр, способов расположить их: \( P_7^2 = 42 \).
• Количество чисел в этом подслучае: \( 1 \text{ (цифра 8)} \times 3 \text{ (четные для единиц)} \times 42 = 126 \).

Случай 2: Первая цифра (тысячи) — 7 или 9 (нечетная и больше 6000).

• Если первая цифра — 7 (1 вариант):
• Последняя цифра (единицы) может быть 2, 4, 6, 8 (4 варианта, так как 7 нечетная).
• Для двух средних позиций остается \( 9 - 2 = 7 \) цифр. Количество способов выбрать и расположить их равно \( P_7^2 = 7 \times 6 = 42 \).
• Количество чисел в этом подслучае: \( 1 \text{ (цифра 7)} \times 4 \text{ (четные для единиц)} \times 42 = 168 \).
• Если первая цифра — 9 (1 вариант):
• Последняя цифра (единицы) может быть 2, 4, 6, 8 (4 варианта).
• Аналогично, для двух средних позиций остается 7 цифр, способов расположить их: \( P_7^2 = 42 \).
• Количество чисел в этом подслучае: \( 1 \text{ (цифра 9)} \times 4 \text{ (четные для единиц)} \times 42 = 168 \).

Общее количество благоприятных исходов:

\( 126 (для 6) + 126 (для 8) + 168 (для 7) + 168 (для 9) = 588 \).

Вероятность:

\( P = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее число исходов}} = \frac{588}{3024} \)

Упростим дробь:

\( \frac{588}{3024} = \frac{294}{1512} = \frac{147}{756} = \frac{49}{252} = \frac{7}{36} \)

Ответ: 7/36