6. Натуральные числа a, b, c, d удовлетворяют равенству 3^a + 3^b + 3^c = 3^d. Докажите, что a = b = c = d − 1.

Упорядочим числа a, b, c, не меняя суммы, так что a ≤ b ≤ c.

Если d = 0, правая часть равна 1, а левая — сумма трёх положительных целых степеней числа 3, поэтому равенство невозможно. Значит, d ≥ 1, и правая часть делится на 3.

Рассмотрим равенство по модулю 3. Слагаемое 3^n делится на 3 при n ≥ 1, а при n = 0 даёт остаток 1. Поэтому число среди a, b, c, равных нулю, должно делиться на 3. Таких чисел не может быть одно или два, значит, либо все три равны нулю, либо все положительны.

Если все три равны нулю, левая часть равна 3, откуда d = 1 и a = b = c = d − 1. Иначе разделим равенство на 3: \(3^{a-1}+3^{b-1}+3^{c-1}=3^{d-1}\). Повторяя рассуждение (или применяя индукцию по d), получаем a − 1 = b − 1 = c − 1 = d − 2, то есть a = b = c = d − 1.

Доказано: a = b = c = d − 1.