6. Найдите значение параметра а, при котором уравнения 2 - 3x = a + 1 и 2х - 1 = 2a + 1 имеют общий корень.

Решение:

Пусть \(x_0\) — общий корень данных уравнений. Тогда он должен удовлетворять обоим уравнениям:

1. \( 2 - 3x_0 = a + 1 \)
2. \( 2x_0 - 1 = 2a + 1 \)

Выразим \(a\) из первого уравнения: \( a = 2 - 3x_0 - 1 \) \( → \) \( a = 1 - 3x_0 \).

Подставим это выражение для \(a\) во второе уравнение:

3. \( 2x_0 - 1 = 2(1 - 3x_0) + 1 \)
4. Раскроем скобки: \( 2x_0 - 1 = 2 - 6x_0 + 1 \)
5. \( 2x_0 - 1 = 3 - 6x_0 \)
6. Перенесём члены с \(x_0\) в одну сторону, а константы в другую: \( 2x_0 + 6x_0 = 3 + 1 \)
7. \( 8x_0 = 4 \)
8. \( x_0 = \frac{4}{8} \) \( → \) \( x_0 = 0.5 \).

Теперь найдём значение \(a\), подставив \( x_0 = 0.5 \) в выражение для \(a\):

10. \( a = 1 - 3x_0 = 1 - 3(0.5) \)
11. \( a = 1 - 1.5 \)
12. \( a = -0.5 \)

Ответ: a = -0.5.