6. Площадь правильного треугольника равна \(36\sqrt{3}\). Найдите радиус окружности, которую можно вписать в этот треугольник.

Площадь правильного треугольника:

\(S=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\).

Подставим значение площади:

\(\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}=36\sqrt{3}\), поэтому \(a^2=144\), \(a=12\).

Радиус вписанной окружности правильного треугольника:

\(r=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}=\dfrac{12\sqrt{3}}{6}=2\sqrt{3}\).

Ответ: \(2\sqrt{3}\).