6. Построить график функции y = x²-6x + 8. Найти по графику промежутки возрастания и убывания функции.

Решение:

Данная функция \( y = x^2 - 6x + 8 \) является квадратичной, её график — парабола.

1. Найдём вершину параболы:
   Абсцисса вершины \( x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3 \>.
   Ордината вершины \( y_в = 3^2 - 6 \cdot 3 + 8 = 9 - 18 + 8 = -1 \>. Координаты вершины: \( (3; -1) \).
2. Найдём точки пересечения с осями координат:
   С осью OY (при \( x=0 \)): \( y = 0^2 - 6 \cdot 0 + 8 = 8 \). Точка \( (0; 8) \).
   С осью OX (при \( y=0 \)): \( x^2 - 6x + 8 = 0 \). Решим квадратное уравнение: \( x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2} \). Корни: \( x_1 = 2 \), \( x_2 = 4 \). Точки \( (2; 0) \) и \( (4; 0) \).
3. Направление ветвей параболы:
   Коэффициент при \( x^2 \) равен 1 (положительный), значит, ветви параболы направлены вверх.
4. Построение графика:
   Отметим на координатной плоскости вершину \( (3; -1) \) и точки пересечения \( (0; 8) \), \( (2; 0) \), \( (4; 0) \). Проведём плавную кривую через эти точки, учитывая направление ветвей.
5. Промежутки возрастания и убывания:
   График функции возрастает при \( x \) больше абсциссы вершины, то есть при \( x > 3 \>.
   График функции убывает при \( x \) меньше абсциссы вершины, то есть при \( x < 3 \>.

Ответ: Функция убывает на промежутке (-∞; 3). Функция возрастает на промежутке (3; +∞).