6. Преобразуйте выражение \( -\frac{4}{5}a^{-5}b^{-12} · (5a^6b^{-1})^ {-2} \) так, чтобы оно не содержало степеней с отрицательными показателями.

Решение:

1. Возведем выражение в скобках во вторую степень, применяя свойство \( (xy)^n = x^n y^n \): \( (5a^6b^{-1})^{-2} = 5^{-2} · (a^6)^{-2} · (b^{-1})^{-2} \).
2. Упростим: \( 5^{-2} · a^{6 · (-2)} · b^{-1 · (-2)} = 5^{-2} · a^{-12} · b^2 \).
3. Теперь перемножим это выражение с первым множителем: \( -\frac{4}{5}a^{-5}b^{-12} · 5^{-2}a^{-12}b^2 \).
4. Перемножим числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями: \( (-\frac{4}{5} · 5^{-2}) · (a^{-5} · a^{-12}) · (b^{-12} · b^2) \).
5. Вычислим: \( -\frac{4}{5} · \frac{1}{25} = -\frac{4}{125} \).
6. Сложим показатели степеней: \( a^{-5} · a^{-12} = a^{-5 + (-12)} = a^{-17} \), \( b^{-12} · b^2 = b^{-12 + 2} = b^{-10} \).
7. Объединим все части: \( -\frac{4}{125} a^{-17} b^{-10} \).
8. Представим степени с отрицательными показателями как дроби: \( -\frac{4}{125} · \frac{1}{a^{17}} · \frac{1}{b^{10}} = -\frac{4}{125a^{17}b^{10}} \).

Ответ: \( -\frac{4}{125a^{17}b^{10}} \).