7. Вычислите: 1) \( (216^{-6} · 6^{-5})^3 · (36^{-2})^{-1} \); 2) \( \frac{(-81)^{-5} · 27^{-3}}{9^{-15}} \).

Решение:

1. \( (216^{-6} · 6^{-5})^3 · (36^{-2})^{-1} \)

1. Представим числа как степени шестерки: \( 216 = 6^3 \), \( 36 = 6^2 \).
2. Подставим в выражение: \( ((6^3)^{-6} · 6^{-5})^3 · ((6^2)^{-2})^{-1} \)
3. Упростим степени: \( (6^{-18} · 6^{-5})^3 · (6^{-4})^{-1} = (6^{-23})^3 · 6^4 \)
4. Применим свойства степеней: \( 6^{-23 · 3} · 6^4 = 6^{-69} · 6^4 = 6^{-69 + 4} = 6^{-65} \).

2. \( \frac{(-81)^{-5} · 27^{-3}}{9^{-15}} \)

1. Представим числа как степени тройки: \( -81 = -3^4 \), \( 27 = 3^3 \), \( 9 = 3^2 \).
2. Подставим в выражение: \( \frac{((-3)^4)^{-5} · (3^3)^{-3}}{(3^2)^{-15}} \)
3. Упростим степени: \( \frac{(-3)^{4 · (-5)} · 3^{3 · (-3)}}{3^{2 · (-15)}} = \frac{(-3)^{-20} · 3^{-9}}{3^{-30}} \).
4. Так как \( (-3)^{-20} = ((-1) · 3)^{-20} = (-1)^{-20} · 3^{-20} = 1 · 3^{-20} = 3^{-20} \), получим: \( \frac{3^{-20} · 3^{-9}}{3^{-30}} = \frac{3^{-20 + (-9)}}{3^{-30}} = \frac{3^{-29}}{3^{-30}} \).
5. Разделим степени: \( 3^{-29 - (-30)} = 3^{-29 + 30} = 3^1 = 3 \).

Ответ: 1) \( 6^{-65} \); 2) \( 3 \).